3次元CGと座標系

　 　

1. 座標変換はこれまでも葉や花を描く際にしばしば用いてきたが、ここであらためて座標系と投影という観点から述べ直しておく。
   　まず、座標系には右手系（right-handed coordinate system）と左手系（left-handed coordinate system）がある。右手系とは、3次元空間における 右手系 （正系）とは、右手の親指、人指し指、中指を直交するように曲げたときに、親指を x 軸、人指し指を y 軸、中指を z 軸とする座標系である（それぞれの指が向いている方向が対応する軸の正の向き： 下図１）。 これに対し、左手系 とは、左手で同様なことをして定まる座標系である（下図２）。 　 　グラフィックスの分野では、右手系はワールド座標系とも呼ばれる。これに対し、左手系は視点座標系とも呼ばれ、座標原点に視点を置いた座標系である。視点と原点の位置関係を考慮せずにすむため、図形をスクリーン（2次元平面）に表示する場合に有効である。 　 　これまでもそうであったが、今後も左手系（視点座標系）で考えることにする(右手系か左手系かによって下記の座標変換の公式も変るので注意したい)。 左手系における3次元の回転に関する座標変換についてはすでに 第13回 で述べ（2次元の座標変換については 第7回 で述べた）、（特に、回転に関してカスタマイズした）各種メソッドは graphics クラスにも登録してあるが、ここであらためて3次元における図形の変換（座標変換）についてまとめて述べておく。

2. まず、回転の向きについて考える。2次元の場合には、反時計回りの回転が正の方向の回転であった。3次元の回転では、x、y、z 軸それぞれの回りの回転（および、それらの合成）を考えるが、どの方向の回転を正の向きと考えるのであろうか？ これは、右手系の場合には、軸の正の方向に向って右ネジが進む方向を正の向きと考える。左手系の場合には逆になる（次図参照）。 　
3. 2次元の場合と同様に、3次元でも平行移動、大きさの拡大/縮小（スケーリング）、対称移動、回転移動、およびそれらの組み合わせがあるが、まず、もっとも単純な平行移動とスケーリングは次のように表すことができる。以下、このように、座標変換は行列を使って表す。 　
4. 次に、回転であるが、座標の変換式を導くために、z 軸回りの回転を例にして考える。次の図に示したように、z 軸の回り（正の方向）にθだけ回転した場合を考える。 　 これより、次のような変換公式が得られる： 　 同様に、x 軸回り、y 軸回りの場合は次のようになる： 　 　 さらに、z 軸の回りにθ_z 回転させてから、続けて y 軸回りにθ_y だけ回転させると、2つの回転後の座標は次のように行列の積として表すことができる（他の場合も同様である）： 　 上記で、x、y、z 軸回りの回転を表す行列を3×3と4×4の2つ示したが、4×4の方は回転の合成が行列の積として表すことができるようにダミーの行と列を追加したものである。平行移動やスケーリングも同様にしておけば、様々な変換を続けて行なった場合の変換公式を行列の積で表すことができる。

5. ここで、変換に関する基本的性質について述べておこう。 n 次元ユークリッド空間において、次の上側に示した式 で表される変換を1次変換（線形変換、linear transformation）という。回転（対称移動）、スケール倍の合成からなる変換は1次変換である。
   1次変換に「平行移動」を加えたものをアフィン変換（affine transformation）といい、上記の下側に示した式のように表すことができる：

   アフィン変換は次のような性質を持つ：

   • 直線は直線に移る。
   • 変換によって直線上の線分の比は変わらない。
   • 平行な直線は変換後も平行である。
   • 平面は平面に移る。
   • 円は円に移るとは限らない（2次元の線形変換では、対称移動や、平行移動や、x、y が同じ倍率のスケーリングや、回転では、円は円に移る（スケーリングしなければ半径は変らない）が、x、y の倍率が異なると円は円に移らない。3次元では、平行移動や対称移動や、x、y、z が同じ倍率のスケーリングでは球は球に移る（スケーリングしなければ球の半径は変らない）が、一般のスケーリングによってはゆがんだ形になりうる）。

   　これらはいずれも、座標の変換公式を見て、直線/曲線/曲面の方程式に当てはめれば容易にわかることである。

   回転に関する性質：

   • スケール倍は、変換前に施しても変換後に施しても同じである。
   • x 軸回り、y 軸回り、z 軸回りの回転は、適用順序によって結果が変わりうる（それは、行列の積が可換でないことからもわかる）。このことは、回転を適用する際に注意しなければならないことの一つである。

6. graphics クラスの拡張と実行例
   　実際に、3次元の平行移動や回転を行なってみよう。その過程で、今後よく使うであろう座標変換関係のメソッドを追加して graphics クラスを拡張する。
   • まず、平行移動から。
     そのために、下図のような直方体を使う。ただし、稜だけを表示する（頂点を結ぶ線分を12本描く）。また、現段階では、隠線処理（見えない線を描かないこと）は行なわない。 この直方体を xy-平面に投影することによって視角化する。

   • ただ単に (x,y) 座標だけを使って描くと、それは上図の緑色の稜だけが描かれることになるので、このようになる（ソースコード: z 座標は無視している）。

   • 次に、x 軸方向へ A、y 軸方向へ B、z 軸方向へ C 平行移動を行なう。 そのために、直方体の8個の頂点それぞれを平行移動する。1頂点につき3個の座標値があり、それらを変換した24個の座標値を計算する必要があるので、座標値の受け渡しを容易かつ分かりやすくするためにクラス _xyz を定義して使う：

         public class _xyz {
             double x,y,z;
         }
     

     必要なときに、このクラスを import して使う（これまでも、graphics クラスを使うときにそうしてきたが、それを使うソースファイルと同じディレクトリに置いておく。そうすれば、わざわざ import 文を書かなくてもよい）。
     　また、平行移動を行なうために座標変換をするメソッド Prallel を graphics クラスに追加しておく：

         // 3次元の平行移動
         // coordinate で与えられる点を dist で与えられる距離だけ平行移動した点を求める
     
         public static _xyz Parallel(_xyz coordinates, _xyz dist) {
             _xyz new_coordinates = new _xyz();
     
             new_coordinates.x = coordinates.x+dist.x;
             new_coordinates.y = coordinates.y+dist.y;
             new_coordinates.z = coordinates.z+dist.z;
             return new_coordinates;
         }
     

     　_xyz クラスを使って平行移動した結果を描いたものが これ である（正しく平行移動が行なわれたかどうかは xy 座標についてしか分からない） （ソースコード）。

   • 今度は、直方体を xy 平面に投影したとき全ての稜が見えるように、x,y,z 軸それぞれの回りに少しずつ回転させて表示 してみる（ソースコード cuboid4.java）。
     　このために、点 (x,y,z) を x軸 or y軸 or z軸の回りに theta 度回転した点を求めるメソッド Rotate を graphics クラスに追加しておく：

         // 3次元の回転
         // xyz で与えられる点を axis 軸の回りに theta 度回転した点を求める
     
         public static _xyz Rotate(_xyz xyz, char axis, double theta) {
             _xyz new_xyz = new _xyz();
             final double RADIAN = Math.PI/180;
     
             switch (axis) {
             case 'x': new_xyz.x = Rotate3X_x(xyz.x,xyz.y,xyz.z,theta);
                       new_xyz.y = Rotate3X_y(xyz.x,xyz.y,xyz.z,theta);
                       new_xyz.z = Rotate3X_z(xyz.x,xyz.y,xyz.z,theta);
                       break;
             case 'y': new_xyz.x = Rotate3Y_x(xyz.x,xyz.y,xyz.z,theta);
                       new_xyz.y = Rotate3Y_y(xyz.x,xyz.y,xyz.z,theta);
                       new_xyz.z = Rotate3Y_z(xyz.x,xyz.y,xyz.z,theta);
                       break;
             case 'z': new_xyz.x = Rotate3Z_x(xyz.x,xyz.y,xyz.z,theta);
                       new_xyz.y = Rotate3Z_y(xyz.x,xyz.y,xyz.z,theta);
                       new_xyz.z = Rotate3Z_z(xyz.x,xyz.y,xyz.z,theta);
                       break;
             }
             return new_xyz;
         }
     

   • 最後に、上記の立方体 　 を、平行移動、回転させてみよう。そのため、上記の cuboid4.java をもとにしたクラスを定義する：
     • クラス名 cuboid4c
     • パラメータは、平行移動距離 d_x, d_y, d_z, 軸 char axis1, double theta1, char axis2, 回転角度 double theta2, char axis3, double theta3, 大きさ double scale
     • ソースコード

     　cuboid4c を使って、まず、スケーリングと平行移動 を行なってみよう（ソースコード）：

     　

   • 次に、x,y,z 各軸回りに回転させたり、平行移動と組み合わせたりしてみよう。この共通のソースコード に基づいて、パラメータの値をいろいろ変えるだけである。
     • 図B　: x 軸の回りに回転（d_x=50, d_y=50, d_z=50, theta1=10, theta2=20, theta3=30, inc_x=0, inc_y=0, inc_z=0, inc_theta_x=80, inc_theta_y=0, inc_theta_z=0, scale=1.5）
     • 図C　cuboid5c: y 軸の回りに回転（d_x=20, d_y=20, d_z=20, theta1=10, theta2=20, theta3=30, inc_x=0, inc_y=0, inc_z=0, inc_theta_x=0, inc_theta_y=60, inc_theta_z=0, scale=1.5）
     • 図D　cuboid5d: z 軸の回りに回転（d_x=20, d_y=20, d_z=20, theta1=10, theta2=10, theta3=10, inc_x=0, inc_y=0, inc_z=0, inc_theta_x=0, inc_theta_y=0, inc_theta_z=60, scale=1.5）
     • 図E　cuboid5e: x 軸の正の方向に平行移動しながら、x 軸の回りに回転（d_x=50, d_y=50, d_z=50, theta1=0, theta2=0, theta3=0, inc_x=20, inc_y=0, inc_z=0, inc_theta_x=20, inc_theta_y=0, inc_theta_z=0, scale=0.5）、theta1=0 すなわち z 軸の回りに回転させていないので、特定の面しか見えない
     • 図F　cuboid5f: x 軸の正の方法に平行移動しながら、x 軸の回りに回転（d_x=50, d_y=50, d_z=50, theta1=20, theta2=0, theta3=0, inc_x=25, inc_y=0, inc_z=0, inc_theta_x=20, inc_theta_y=0, inc_theta_z=0, scale=0.45）、theta1=20 すなわち z 軸の回りに20度回転させて xy-平面へ投影したとき6つの面が見えるようにしている。y 座標の値は x の値に増加に連れ次第に大きくなることに注意
     図B　 図C　
     図D　 図E　
     図F